O que são Fractais?
Por Dirceu Melo
A idéia de objetos com dimensão fracionária é antiga.
Desde o século
XIX, matemáticos como Hausdorff, Cantor, Koch e Sierpinski pensavam na
idéia de objetos ou figuras com dimensão
fracionária. O matemático Benoit Mandelbrot determinou a palavra “fractal” para
tais objetos.
Segundo Mandelbrot “Um fractal é, por definição, um conjunto
para o qual a dimensão de
Hausdorff-Besicovitch é estritamente maior que a sua dimensão topológica”
A etimologia vem do latim fractus,
que significa “fração”, “fragmento”, “irregular ou fragmentado,” etc. Segundo
Cruz (2000), em 1975, Mandelbrot popularizou uma teoria sobre a geometria dos
fractais, sendo considerado o “pai” da geometria fractal moderna.
Os Fractais são figuras geométricas que apresentam extrema
irregularidade em sua forma e, além disso, não importando em qual escala sejam
observados, apresentam a mesma estrutura. Os Fractais são obtidos através de
processos iterativos, em que o número de iterações tende a infinito.
As três principais características dos fractais são: auto similaridade,
ou seja, o todo é semelhante às partes; extrema irregularidade, alta rugosidade
e fragmentação; dimensão fractal – possuem dimensão não inteira a qual pode
quantificar, de certo modo, quão irregular ou fragmentado é a figura estudada.
Existem, porém, conjuntos fractais com dimensão inteira.
 |
A dimensão de um fractal indica que o espaço ocupado por ele está
relacionado com o seu grau de aspereza, irregularidade ou fragmentação. A
utilização do conceito de dimensão fractal está associada à idéia da existência
de redundância nos conjuntos de dados e da possibilidade desses conjuntos
estarem bem próximos em dimensões menores.
Pela definição de Euclides, um ponto tem dimensão 0, uma curva dimensão
1, uma superfície dimensão 2 e uma porção no espaço dimensão 3. Para determinar
a dimensão topológica de um objeto recorre-se ao estabelecimento de um
homeomorfismo topológico com algum destes objetos geométricos fundamentais.
Assim, por exemplo, se um quadrado possui dimensão 2 um círculo também é
bidimensional, pois um quadrado e um
círculo são homeomorfos.
Diferentemente, a dimensão fractal
representa o grau de ocupação desta figura no
espaço, que tem a ver com seu grau de irregularidade. Segundo Mandelbrot
e também outros autores, a dimensão fractal de uma figura pode ser calculada
através de dois métodos: Dimensão Topológica (Dimensão de Homotetia ou de Auto-similaridade)
e Dimensão de Contagem de caixas ou de
Cobertura.
1.2 Dimensão
Topológica
Na Dimensão Topológica, existe
uma relação exponencial entre o fator de redução e, o número N de pedaços dentre os quais a estrutura pode
ser dividida e a dimensão d.
A partir daí a dimensão fractal pode ser escrita como .
Vejamos o cálculo da dimensão fractal (d) de alguns conjuntos Clássicos
e a comparação com sua dimensão topológica (dt) .
Conjunto
de Cantor (ou poeira de Cantor)
É um fractal pois (d=0,63)>(dt=0)
Curva de Koch
É um
fractal pois (d=1,26)>(dt=1)
Triângulo de Sierpinski
FONTE:https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b7/SierpinskiTriangle.PNG
É um fractal
pois (d=1,58)>(dt=1)
Cabe aqui comentar que neste caso
o Triângulo de Sierpinski (Madelbrot
trata como Curva de Sierpinnski) tem
dimensão topológica unidimensional pois sua construção fractral pode ser gerada a partir de uma
linha (iniciator = [0, 1]) , evoluindo
para seu gerador, e, de forma
iterativa, formando os Teragons*.
Gerador Segundo Teragon
Etaa 2 Etapa
3 Etapa 5
Etapa 8
*Teragon é mais um neologismo introduzido por Mandelbrot, que tem base
em duas palavras gregas, e pode ser traduzida como curva monstro.
1.3 Dimensão de Contagem de
Caixas ou de Cobertura
Quando o fractal não apresenta auto-similaridade,
torna-se difícil ou em muitas vezes, impossível o cálculo de sua dimensão por
homotetia, devido as irregularidades que os fractais geralmente apresentam. O
método de contagem de caixas ou de cobertura é
um processo gráfico amplamente utilizado para o cálculo da dimensão
fractal.
A contagem de caixas consiste em, inicialmente cobrir
a figura da qual se deseja calcular a dimensão com malha de quadrados de lado t,
como foi feito com a folha da figura abaixo. O número de quadrados contendo ao
menos um ponto da figura é representado por N. O tamanho da moldura onde a
figura está inserida é L e a dimensão esta representada por
D e o fator de redução é r.
Estabelece-se então a igualdade
, donde vem que . Vamos chamar o fator de redução de r .
Para que a determinação de D seja precisa, é necessário que a malha seja
bem fina, isto é, que o lado r dos quadrados seja tão pequeno quanto se queira.
Podemos então definir D, aplicando o limite quando o lado r tende a zero: Logo, .
1.3.1 Exemplo
1/rk
|
N
|
(log 1/rn, logNn)
|
logNk/log rk
|
|
n=0
|
1
|
1
|
(0,0)
|
|
n=1
|
2
|
3
|
(0,301, 0,477)
|
1,5847176
|
n=2
|
4
|
9
|
(0,602, 0,954)
|
1,5847176
|
n=3
|
8
|
27
|
(0,903, 1,432)
|
1,5858250
|
n=4
|
16
|
81
|
(1,204, 1,908)
|
1,58471760
|
O método da
contagem de caixas fornece =1,58, valor obtido usando o primeiro método.
Mapa Gerado no
Microsoft Excel
Dados encontrados utilizando o método das caixas
1/rk
|
N
|
(log 1/rn, logNn)
|
logNk/log rk
|
|
n=0
|
1
|
1
|
(0,0)
|
|
n=1
|
2
|
4
|
(0,301, 0,6020 )
|
2,0001
|
n=2
|
4
|
16
|
(0,602, 1,2041)
|
1,5847176
|
n=3
|
8
|
60
|
(0,903, 1,7781)
|
1,96896353
|
n=4
|
16
|
235
|
(1,204, 1,9084)
|
1,9693254
|
Gráfico
Referências
MANDELBROT, Benoit B. The fractal geometry of nature. New York: WH freeman,
1983.
MANDELBROT, Benoit B. Objectos fractais: forma, acaso e dimensão; seguido de
Panorama da linguagem fractal. Lisboa: Gradiva, 1991.
CRUZ, Tersio. Leis de Escala e Dimensão Fractal em Filmes Finos: Microscopia de
Força. Physicae, p. 29-36, 2000.
http://classes.yale.edu/fractals/FracAndDim/BoxDim/GasketBoxDim/GasketExact.html
Fractal – Wikipédia/ www.wikipedia.com.br/fractal.
Benoit B. Mandelbrot ,The fractal geometry of nature
B.B. Mandelbrot. Objetos Fractais: forma, acaso e dimensão. Gradiva. Pulblicações Lisboa, 1991.
http://classes.yale.edu/fractals/FracAndDim/BoxDim/GasketBoxDim/GasketExact.html
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